2進数、16進数

コンピュータが扱う数値表現

通常、私たちが使っている数値表現は10進数です。10進数は0～9の数字を使って一桁を表現しています。10で桁上がりするのが10進数ですね。人間の指は10本あるので、この10進数の考え方はわかりやすいです。

しかしコンピュータでは、すべてのデータを電流が流れているか流れていないかという２種類の状態で表現します。つまり、０か１というわけですね。この０か１で表現する考え方が２進数です。10進数は10で桁上がりするのですが、２進数は２で桁上がりします。0 , 1 , 10,11,110・・・という具合に桁が上がっていきます。

変換の仕方（10進数への変換）

すべての数の表現の仕方について、共通のルールがあります。それは各桁の「重み」です。たとえば、10進数で次の数字を考えます。

4567
4は1000の位、5は100の位、6は10の位、7は1の位なので分解すると、

4×1000 + 5×100 + 6×10 + 7×1
=4×10^3 + 5×10^2 + 6×10^1 + 7×10^0

となります。この10^3,10^2,10^1,10^0が10進数の各桁の重みになっています。10進数なので10の累乗です。２進数なら２の累乗、16進数なら16の累乗が各桁の重みです。

つまり、２進数で「1110」は次のように考えることができます。

1110
=1×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0

このように分解して考えると、２進数から10進数に簡単に変換することができます。

1110 = 1×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0
= 1×8 + 1×4 + 1×2 + 0×1
= 14

16進数でも同様です。16進数で「1AD」なら、次のように分解でき10進数に変換すると、

1AD = 1×16^2 + A×16^1 + D
= 1×256 + 10×16 + 13
= 429
になります。

これは何も2,10,16進数だけとは限りません。4進数だろうが、8進数だろうが、9進数だろうが基本は同じです。一般に、n進数とは各桁の値（その値の範囲は0～(n-1)）にnの累乗の重みをかけて足し合わせたものとして表現することができます。

※よく使う２進数
１０００００００(2)＝１２８(10)
１１００００００(2)＝１９２(10)
１１１０００００(2)＝２２４(10)
１１１１００００(2)＝２４０(10)
１１１１１０００(2)＝２４８(10)
１１１１１１００(2)＝２５２(10)
１１１１１１１０(2)＝２５４(10)
１１１１１１１１(2)＝２５５(10)

これはサブネットマスクの計算のときによくでてきます。

10進数からの変換

10進数から２進数への変換
10進数から２進数へ変換するには、変換対象の10進数を２で割って、その商をさらに２で割る、またその商を２で割って・・・これを商が２で割れなくなるまで繰り返し、最後の商を先頭にして、あまりを並べていきます。
たとえば、100を２進数で表現するには、

１００÷２＝５０ あまり ０
５０÷２＝２５ あまり ０
２５÷２＝１２ あまり １
１２÷２＝６ あまり ０
６÷２＝３ あまり ０
３÷２＝１ あまり １

と最後の商が１で、もうこれ以上２で割ることはできません。そこで、この商を先頭にして、各あまりを並べていきます。すると100は２進数では、次のようになります。

１００(10)＝１１００１００(2)

※(10)は10進数、(2)は2進数を示します

10進数から16進数の変換
10進数から16進数の変換も基本的には同じです。割る数が16になるくらいです。

１００÷１６＝６ あまり ４

とここでもうこれ以上商を16で割ることができません。この商を先頭にしてあまりを並べると

１００(10)＝６４(16)

となります。
また、10進数で３００であれば、

３００÷１６＝１８ あまり １２（＝Ｃ）
１８÷１６＝１ あまり ２

と、ここで商をこれ以上16で割ることができません。この商を先頭にしてあまりを並べていくと

３００(10)＝１２Ｃ

※１２は１６進数でＣ

というように変換することができます。

２進数、16進数の変換
16進数は２進数の４桁をひとつにまとめたものと考えることができるので、２進数から16進数の変換は４桁ごとに変換していくと簡単です。
たとえば、

１１１１０００１０ であれば

０００１ １１１０ ００１０
※最初の「０」３つは、４桁にそろえるため

というように４桁ごとに区切ります。この４桁ごと16進数に直していくと、

０００１(2)＝１(16)
１１１０(2)＝Ｅ(16)
００１０(2)＝２(16)

となるので、

０００１１１１０００１０(2)＝１Ｅ２(16)

と変換することができます。
16進数から２進数も簡単に変換することができます。次の例を考えましょう。

Ｅ２Ａ(16)であれば、

Ｅ(16)＝１１１０(2)
２(16)＝００１０(2)
Ａ(16)＝１０１０(2)

なので、

Ｅ２Ａ(16)＝１１１０００１０１０１０(2)

と変換できます。

こういった変換は、めんどくさいので電卓でやってしまえばいいのですが、一応理屈だけはわかっていた方がいいですね。